なぽちゃんの
光学の部屋

１　被写界深度の計算



高校の物理程度の計算式で、被写界深度を求めてみましょう。
ご存じレンズの公式です。ちなみにこの式の証明は、実に簡単ですが省略します。
（もしかしたら、あとでやります。）

いま被写体がXの位置にあるとき、その像点はPに出来ます。
このときレンズから被写体までの距離はａとし、レンズから像点までの距離はｂとします。
レンズの公式により、焦点距離をｆとして

１／ａ＋１／ｂ＝１／ｆ　……（１）

同様にX'の位置の被写体はP’点に像が出来ますが、
スクリーン面上のP点に於いては、光軸からδだけ像が大きくボケています。

１／ａ’＋１／ｂ’＝１／ｆ　……（２）

δが許容錯乱円の場合、前方被写界深度というのはａ−ａ’のことです。
許容錯乱円というのは、このボケの大きさが、実際の写真として表示されたり、印刷されたりしたときに
真の像点の画像と区別できないときの大きさを云います。
銀塩フィルムでは０．０３ｍｍ＝３０μｍです。

さて、（１）と（２）は同じ１／ｆですので

１／ａ＋１／ｂ＝１／ａ’＋１／ｂ’　　　∴　１／ａ−１／ａ’＝１／ｂ’−１／ｂ……（３）

通分すると（ａ’−ａ）／ａａ’＝（ｂ−ｂ’）／ｂ’ｂ……（４）

ここでレンズから被写体までの距離をLと書いてａａ’≒Ｌ＾２（Ｌの２乗）とし

ｂ’／Ｄ＝（ｂ’−ｂ）／δ　≒Ｆ　（Ｆ値のこと）　と近似すれば　ｂ’−ｂ＝δＦ

（４）式は

ａ’−ａ＝δＦ・ａａ’・（１／ｂ’ｂ）＝δＦ・Ｌ＾２／ｂ’ｂ……（５）

となります。ここでｂ’ｂ≒ｆ＾２（焦点距離の２乗）という近似をすれば

ａ’−ａ≒δＦ・Ｌ＾２／ｆ＾２……（６）

が出てきます。この式は簡便な被写界深度の計算式です。

すなわち被写界深度の値はおおよそＦに比例し、
被写体までの距離の２乗に比例し、
焦点距離の２乗に反比例します。
この近似式は被写体が遠いときの近似となっておりますが、
特に重要なのは、F値に比例することです。

もう少し厳密な式の形は
ここ←にあります。

式からわかるように、後方被写界深度の方が大きいです。
まあ、当然ですね。

【マクロ撮影】

でクローズアップレンズやコンヴァージョンなどをつけ
ａ、ａ’が小さい場合
（５）式の２番目の等式のまま使います。
すなわち

ａ’−ａ＝δＦ・ａａ’／ｂ’ｂ……（５）’

これは被写界深度が
被写体までの距離の２乗平均値ａａ’より
像点距離の２乗平均値ｂｂ’の方が大きい場合は
きわめて被写界深度が小さいことを意味します。
顕微鏡などでは、非常にピントの合う位置が狭くて苦労しますね。
近接撮影（マクロ）はピントが浅いんですよ。


２　レトロ・フォーカス



レンズの後ろにミラーを持つ１眼レフのレンズでは、
１６ｍｍとか２４ｍｍのような広角レンズの焦点距離はどうなっているのでしょう。

レンジファインダーのカメラのような、普通の小さなレンズを使うと、１６ｍｍのなかにミラーは入りません。
そこで考えられたものがレトロ・フォーカスです。

上の図は、レトロ・フォーカスを模式的に示したものです。
初めにL1で光を広げL2で収束します。
すると、複合レンズの焦点距離の定義から
この場合の焦点距離はL2の遙か後ろに有効焦点距離が形成されます。
後ろにできるのでレトロ・フォーカスというのです。

複合レンズの焦点距離は、このように入射光を延長した線と
最後のレンズによって作られた光線の交点からスクリーンまでの距離が
有効焦点距離となります。

ズームレンズのような複雑なレンズも同様です。
巨大なレンズのどこからが１６ｍｍなのかという答えがこれです。

３　球面収差

この収差は大変重要な基本的収差です。
レンズの研磨は工場生産では、鉄皿といって
２枚の球面をした皿の片側に、レンズになるガラスを蜂の巣状に貼り付け
研磨剤を入れて鉄皿の半径の１／３ぐらいずらしながら往復運動をし、
さらに下側の鉄皿を回転する運動で、作られます。
これは１枚１枚手で研磨しても、同じ運動です。
したがって、ずらしたときに凸面と凹面が同じ曲率半径になります。
このようにして研磨されるのですから、球面しか自動研磨で大量生産は出来ません。
放物面や、双曲面などの２次曲面、およびシュミット・カメラの補正レンズのような
高次曲面はさらに難しい動きをする機械が必要になります。
一般に非球面を持つレンズが、わざわざそれを誇示するのは理由があります。
以下、球面収差の図による解説を行います。
図１が球面による屈折の様子です。
スネルの法則　ｎ＝ｓｉｎθｉ／ｓｉｎθｒという屈折率の説明で出てくる基本公式により
光軸から遠い光線（以下これを遠軸光線といいます）は深い角度でガラスに入射するために
大きな角度で屈折します。光軸に近い光線（近軸光線）では入射角が小さいために屈折角も小さいです。
このときに、問題はこの比がｓｉｎの比であることで、この関数の性質上、θが小さいときはｓｉｎは直線的に増加しますが
９０度に近づくにつれ、増加が停まります。この結果、この比が一定であることから
大きい角度の屈折は、小さいときよりもより大きく屈折してしまいます。
それで、図のようにｂは光軸とｂで交わり、ｂ’は近いところのｂ’で光軸と交わります。
このように近軸光線で像が出来ても、遠軸光線の方は像をレンズに近い方で結んでいるために
ｂ点では逆に広がってボケた像を造っています。絞ると近軸光線だけになるので一般的には
球面で構成されるカメラ・レンズの画像はシャープになります。



一方、たとえば図２のように放物面のような非球面では
レンズの曲率（曲がり具合）は近軸光線に対しては大きく、周辺部でカーブが緩やかになっていきますので
遠軸光線でも球面の時よりは遠くで光軸と交わり、きれいに１点で焦点を結びます。
何枚もの球面（凸や凹の組み合わせ）を使って球面収差を除去すると、
さらに新たな問題（他の収差）を引き起こすことは言うまでもありません。
１面でも非球面を入れるだけで、
大幅に収差除去が楽になるのは容易に想像が付きます。

カメラのレンズは７群１３枚のように
張り合わされてひとかたまりになった群の数と、レンズの使用枚数の総数で、構成を表現しています。
このときに、外側に空気層を持つ群の数が収差を除去する面の数を表します。
つまり、ガラスに入射したり出射するときの角度で、様々な収差を除去しているのです。
ですから、枚数が多いというのは、それだけ必死になって収差を消そうとした設計上の苦労を表します。
その反面、逆に要領の悪さかも知れません。
また、空気層に接すると、表面での無用な反射が増えますから
群の数は少ない方が良いのです。
これは、反射防止膜のコーティングをやっても、完璧にゼロには出来ません。
レンズ間の残留反射が写真レンズのコントラストを決めます。
設計のいいレンズは、この群の数が少なく、いわゆる抜けの良いレンズとなります。
というわけで
非球面を使用すると、この群の数は著しく減ります。
ただし、非球面は研磨精度が球面に比べて格段に落ちるので、
理論設計上の収差除去が、製品となったときに実現されるかというと
今ひとつ疑問です。
非球面の研磨はいちいちやると、ものすごく大変なので
１枚だけ精密なマザーをつくり、（このマザーを作っている工場というのは、小さな小さな町工場です。
ふつう一人か数人の職人がいるだけの、個人宅みたいなところで作っていますよ）
このマザーを検査用にして、研磨精度をチェックする方法（ニュートンリング法）がひとつ、
いっそのこと、研磨をあきらめて、鋳型にプラスチックを押し込んで作る方法とがもう一つあります。
現在では、コストの観点が重視されますから
後者が主流です。プラスチック・モールドといってますね。


４　像面湾曲

一番最初の式は、高等学校の理科で教えられる最も有名なレンズの公式ですが
この公式をつかって像を作図する過程で、教科書も一般の教師も
厳密には嘘を教えます。
これから、その嘘を暴きましょう。

教科書は普通物体を矢印で表して、その頂点でしか作図しません。
つまり、１点での作図しか示さず、直立した矢印が直立した像に書いてしまうのです。
ふつう、これだけでも理解できたら、高校教育は良しとします。
この作図法を知っている日本人は１万人ぐらいしかいないでしょう。
高校を卒業した後では、もっと減ります。
あなたはどうでしたか？
しかし
これを下図のように３点ぐらいで作図すると、たちまち化けの皮が剥がれます。

作図の要領を説明します。
物体から出た光は、放射状に辺り一面に広がりますから
そのうちの２本だけ光線を代表して考えます。
一つ目は光軸に平行にレンズに向かった光線です。
これはレンズで屈折して焦点に向かい、直進していきます。
２本目はレンズの中心を通り屈折せず（厳密にはずれて元来た方向と平行に）直進します。
再び、分かれた光が出会うところに像が出来ます。
つまり、凸レンズは広がった光を再び集合させる働きがあるのですね。
実像とはこのような光が集まって出来る像です。
この作図要領をきちんと守って、何点かで実像を求めると
なんと、教科書が書いているようなまっすぐな像にはなりません。
これを発見できる高校生は、おそらく皆無です。
最も優秀な生徒でも、受験勉強に無関係なところはやろうとしませんから。




像面湾曲はややこしいので、高校程度の初等光学では削除されています。
でも、私たちがレンズの像を学んで、役に立てるところと言ったら、カメラとか目ではないですか。
これは教えた方が良いです。
なぜならば、私たちの目は網膜が球面（実際には非球面）で、
このように１枚のレンズで造られる像が湾曲していることこそ正しいのだからです。
私たちの網膜はフィルムのように平坦ですか？違いますね。
逆に、カメラはその感光面が平面であることが諸問題の発端なのです。
歴史上、感光面が球面だったことは一度もありません。
ブローニーも３５ｍｍも巻き取りフィルムですから、円筒面には出来ても球面には出来なかったのです。
それで、カメラのレンズはこの本質的に湾曲する像を平面にするべく、
複数レンズで、補正してきました。
そのほかのザイデル収差も補正しながら、平面に像を結び、色収差もないというレンズは
作れません。大体、妥協の産物なのです。

参考

レンズの収差は次の５項目（1850年代にL.フォン・ザイデルが発表したため
『ザイデルの５収差』と呼ばれる）に分類される。
●非点収差
レンズ周辺からの入射光が異なる二点で結像し、
本来の結像面に焦点を結ばない場合に起きる現象。
点が点として写らず、解像力の低下や「二線ボケ」などを招く。
●球面収差
被写体の一点から出た光がレンズ中央と周辺で前後が異なる位置に結像する現象。
この収差が残ったレンズでも絞り込むことである程度は取り除くことが可能。
ソフトフォーカスレンズは意図的にこの収差を残して作画効果に利用している。
●像面歪曲
フィルムの中央と周辺で焦点面にずれが生じ、
その結果画像が歪む現象。
●歪曲収差
樽型や糸巻型に画像が歪む現象。
結像の倍率が平面上で一定でないために起こる。
特にズームレンズでこれを完璧に補正するのは困難とされる。
●コマ収差
光軸からずれた被写体から出た光がフィルム面で正確な点状に写らず、
彗星のように尾を引いて結像する現象。

　上記以外の収差としては
●色収差
長焦点レンズなどで画像の周囲に原色の滲みを生じる現象。
光の波長によって結像の位置が異なるために起きる。ニュートンが発見した。

【絞りについて】

絞ると分解能が下がり、コントラストも下がるという常識の非常識

望遠鏡の分解能という話があって、カメラも似たようなものですから参考になります。
　分解能は口径に比例します。
口径の大きなレンズほど分解能は高いのです。
[
「つるちゃん」さんのこのサイトを参照

　絞ると像が甘くなる理由を説明します。
　たとえば、E5000はＤｉＭＡＧＥ７と一緒で２／３インチのＣＣＤで５００万画素、
換算２８ｍｍから始まる３倍ズームですから、広角端はｆ＝７ｍｍということになり、
Ｆ８の時にはこれの１／８で０．９ｍｍという口径になってしまいます。
これが分解できる視線角は１１６／０．９約１２９秒≒１／３０度、ラジアンで言うと０．０００６ラジアン。
これは１ｍ先の０．６ｍｍ以下は分解できないという意味です。
　これって結構、輪郭と考えると、甘いですね。
　だから、デジタルカメラのようにレンズの絶対値が小さい場合は、
絞らない方がシャープなんですよ。
そのかわり、被写界深度は浅くなるので、距離の差がない平板なものを撮るときはなるべく開いて、
逆に奥行きのある立体的なものを撮るときは絞った方が良い、と一般的に云えますね。

　デジタルカメラは、マクロより風景などが主体で、
なるべく情報量豊かに写し込む方を設計上優先するので、
甘くなってしまうＦ値の大きなものは作らないのだと思います。

絞り込むと甘くなる理屈を、わかりやすく分解能というもので説明しましたが、
ふつうは光の回折現象で説明してますね。
でも、理科離れの昨今、いまひとつわかりにくいのではないかと思っています。

　まあ、説明というのは、とりあえず説明があるならいいや、
というレベルから、とことん納得したい人向きまで、何階層にも存在しますから、
どうせとことん判らないのなら、通り一遍で良いはずで、
　「回折が原因で甘くなります。」
　「ああ、そうですか。」
　で、終わらせてしまいます。
　わかったんですかねえ！

　【回折】（よくわかっている人は読み飛ばす）
　
　『回折現象は、物体の陰に波が回り込む現象で、
波長と物体のサイズが近づくと最も強く起こり、
したがってこれが光学的顕微鏡の分解能の限界を決めていますが、
巨視的な世界（日常サイズの世界）では、この光の回折現象はあまり観察できない現象で、
ふつう、「光は直進する」と思っています。
　でも、音なら話は別です。
こっちは日常的に起こっています。
音波が物陰に回り込む現象は、
物陰に隠れて姿の見えない人の話を聞くとき、これがまさしく回折現象です。』
　
　絞りの話に戻すと、光もミクロな世界では波ですので、
ナイフのエッジのようなシャープな縁を通過するとき、陰に回り込みます。
絞りの縁も同じことが起こります。
此の回り込みの量は（角度も光量も）わずかですが、
たとえわずかでも曲がると、遠くへ行って大きな差になりますから、
これがいろいろな角度で連続的に起こるので、回折光が屈折光にかぶさり、
像は甘くなりますし、同時に、コントラストも落ちます。
　この影響は、絞り込むと、回折光は一定でも屈折光が減るので、
解像度は落ちます。比率の問題です。


　これで、判ったと思うでしょう？

　実は、まだ他にも原因があることに、最近思い当たりました。
これは、たぶん誰も気が付いていません。
（説明しようとしていないだけだと思います。）　
　キー・ワードは多重反射です。

【多重反射によるコントラストの低下】

コンパクトデジカメでシボリを絞ると解像度が下がるという話は
口径が小さくなって分解能が下がることと、もう一つはシボリを絞ることによって、
構成レンズ間の隙間で生じる多重反射が増えコントラストが低下することが原因です。

シボリを小さくして使う光軸付近の光線は、
レンズ表面が平行面に近づきますから、多重反射の回数が増えます。
F値が大きくなるに従い、この多重反射による光は、結像には寄与せず無駄にCCDを照らし
コントラストを大きく損ないます。
本来の結像に向かう屈折光と
反射光が像点をてらす無駄な光との比率がコントラストを決めます。
シボリを開いて使う周辺のレンズ面は大きく傾いていますから
ガラス表面での反射光はすぐに外に出てしまい、害になりません。
正しく屈折して像点に向かった光だけで結蔵しますから、
コントラストについては、シボリは開いた方が遙かに良いのです。

【開放の像は甘い】

ただ、シボリを開くといろいろな収差のうち
特に球面収差と色収差（特に倍率色収差）等が悪化します。
球面収差は特に中心部の解像度を悪化し、
色収差は輪郭の滲みをもたらします。

色収差などは、色（光の波長）ごとに焦点距離が違うため
赤を１点になるよう合わせると青が大きな円となり
黄色に合わせると赤と青は先の半分の大きさの円となり
青に合わせると、赤い点は大きな円となり
結局、すべての色の光で出来ている白い点が一番大きく暈けます。
写真を撮っていて、一番色収差が気になるのは白い鳥などの輪郭なのはこのためです。
単色光（たとえばナトリウムランプ）で照らされた被写体は
だから色収差がありませんが、美しくないのでペケ。

また、球面収差のために、シボリを開くと一般的に像は甘くなります。
ポートレイトには良いかも知れませんが、キレの悪い像は
気持ちよくありません。
これは比較するとよくわかります。
高いレンズで撮った写真はやはり綺麗です。

テレコンバージョンレンズやワイドコンバージョンレンズは
正規のレンズ設計外の屈折像ですから
メーカーの純正以外は偶然に頼るしか
収差は消えることは出来ず
一般的に増加します。